Prisioneiros e chapéus

30 prisioneiros são colocados em fila cada um com um chapéu branco ou preto na cabeça. Eles não sabem a cor do chapéu que têm na cabeça, nem quantos chapéus existem de cada cor. Cada um dos prisioneiros consegue apenas ver os chapéus dos que estão à sua frente. Um guarda vai perguntar a cada um deles, começando no último da fila (aquele que pode ver todos os chapéus com excepção do próprio) e acabando no primeiro, qual a cor do chapéu que cada um possui. Os prisioneiros podem apenas responder ‘branco’ ou ‘preto’. Os que acertarem na cor do respectivo chapéu serão libertados, caso contrário serão executados. Cada um dos prisioneiros pode ouvir as respostas dos outros. O guarda só dirá no final quem respondeu correctamente.

Antes do teste começar os prisioneiros podem combinar qual a estratégia a seguir para garantir que o maior número de prisioneiros sobrevive.

Qual é a melhor estratégia? Quantos prisioneiros sobrevivem?


(Este problema aparece proposto no El País)

Invariante num Triângulo equilátero

Seja ABC um triângulo equilátero de centro O, considere-se uma circunferência com centro O e raio arbitrário.

Mostre que o valor AP² + BP² + CP² é o mesmo para qualquer ponto P na circunferência.

Sugestão: Use o software de geometria Geogebra para verificar que o valor da expressão indicada não se altera.

Dodecágono e quadrado

Dados um dodecágono regular (12 lados) e um quadrado com a mesma área, mostre que uma das diagonais do dodecágono tem a mesma medida que o lado do quadrado.


mathPD = "Math Problem of the Day"

Mathematics-Phobia

I beg you sir, would you please tell me,
Why should I learn mathematics?
Numbers and symbols, equations and variables,
In my mind they can never stick.

It's lucky for Pythagoras and Newton
That none can ever touch them.
Otherwise they would be murdered
For their wearisome theorems.

Sine and cosine, tangent and cotangent,
Are they not more or less the same?
This side over that side, that side over this side,
What kind of stupid games?

All I need in life is a calculator
Whether I buy or sell.
If in heaven I have to learn Mathematics
I'd rather go to hell.

(Ee Teck Ee -  Singapore)

Problemas de Combinatória

1. De quantas maneiras distintas podemos colocar 8 torres num tabuleiro de xadrez sem que estas se ataquem entre si (não podem estar duas na mesma linha ou coluna)?

2. Uma estante contem 12 livros. De quantas maneiras distintas se podem escolher 5 desses livros sem que dois deles estejam lado a lado?

3. Um polígono regular com 2n lados está incrito numa circunferência. De quantas maneiras distintas podemos unir pares de vértices por segmentos que não se intersectam?


Referência: "Combinatorial Mathematics for Recreation", N. Vilenkin
(ver lista de problemas no final do livro)

Uma rapariga

Problema: Num certo país toda a gente quer ter uma filha. Assim, cada casal continua a ter filhos até que seja uma rapariga, e depois não tem mais filhos. Qual a percentagem de rapazes neste país?

Quadrado mágico multiplicativo

Um sonho de Pólya

Neste blog vais encontrar diversos desafios matemáticos para alunos do 7º ao 12º ano. George Pólya foi um matemático húngaro que defendeu a importância da resolução de problemas no ensino da matemática. Espero os problemas aqui disponíveis sejam do teu agrado e fico à espera das tuas resoluções.

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